Задание DC6888: Целые и дробно-рациональные уравнения. Системы и совокупности уравнений

1. Исходное уравнение: x²−6x+√6−x=√6−x+7. Квадратные корни определены, если 6 − x неотрицательно. Область допустимых значений: x ≤ 6.

2. На этой области одинаковое слагаемое √6 − x можно вычесть из обеих частей. Получаем x² − 6x − 7 = 0. Область x ≤ 6 сохраняем; возводить уравнение в квадрат не требуется.

3. Решим полученное квадратное уравнение:
x² − 6x − 7 = 0.
D = (−6)² − 4 · (1) · (−7) = 64.
√64 = 8. По формуле корней x = −(−6) ± 82 · (1).
Получаем x = −1, x = 7.

4. Проверим каждого кандидата по исходной области:
x = −1: 6 − (−1) = 7; подкоренное выражение неотрицательно, корень подходит.
x = 7: 6 − (7) = −1; подкоренное выражение отрицательно, значение недопустимо.

5. Проверка принятого корня x = −1. Подкоренное выражение равно 7, а часть без корня равна (−1)² + (−6) · (−1) = 7. Поэтому обе части исходного уравнения равны 7 + √7. Все преобразования на области допустимых значений равносильны, других корней нет.

Ответ: −1.