Задание 253706: Целые и дробно-рациональные уравнения. Системы и совокупности уравнений

1. Решаем систему:
2x²+y²=36;
8x²+4y²=36x.
Обе части всех равенств — многочлены, поэтому допустимы любые действительные x и y. Ответом должны быть пары, одновременно удовлетворяющие двум уравнениям.

2. Левая часть второго уравнения равна левой части первого, умноженной на 4. Умножим всё первое равенство на 4 и вычтем его из второго. Квадратные члены сократятся:
−36x + 144 = 0.
Отсюда −36x = −144, поэтому x = −144−36 = 4.

3. Подставим x = 4 в первое уравнение:
2 · (4)² + y² = 36.
y² = 36 − 32 = 4.
y² = 4 = 2², поэтому y = −2 или y = 2. Оба знака подходят.

4. Проверка обеих пар в исходной системе:
Пара (4; −2):
2(4)²+(−2)² = 36, 36 = 36;
8(4)²+4(−2)² = 144, 36(4) = 144.
Пара (4; 2):
2(4)²+(2)² = 36, 36 = 36;
8(4)²+4(2)² = 144, 36(4) = 144.
Вычитание кратного первого уравнения из второго сохраняет равносильность. Значение x единственно, а для него найдены все возможные y.

Ответ: (4; −2); (4; 2).