Задание D6770A: Целые и дробно-рациональные уравнения. Системы и совокупности уравнений

1. Рассматриваем действительные значения x. Оба слагаемых в левой части — квадраты, поэтому каждый неотрицателен. Их сумма равна нулю тогда и только тогда, когда оба квадрата одновременно равны нулю.

2. Следовательно, исходное уравнение равносильно системе:
x² − 36 = 0,
x² + 4x − 12 = 0.
Важно, что должны выполняться сразу оба уравнения, а не одно из них.

3. Из первого уравнения x² = 36 = 6². Поэтому возможны только два значения: x = −6 и x = 6. Проверим их во втором уравнении:
При x = −6: (−6)² + 4 · (−6) − 12 = 0. Второе уравнение выполнено.
При x = 6: 6² + 4 · 6 − 12 = 48. Второе уравнение не выполнено, это значение исключаем.
Остаётся единственный корень x = −6.

4. Проверка в исходном уравнении при x = −6:
(−6)² − 36 = 0,
(−6)² + 4 · (−6) − 12 = 0.
Поэтому исходная сумма квадратов равна 0² + 0² = 0. Других действительных корней нет: первый квадрат обращается в ноль только при двух уже проверенных значениях.

Ответ: −6.