Задание 06F70C: Целые и дробно-рациональные уравнения. Системы и совокупности уравнений

1. Уравнение (x−2)⁴+3(x−2)²−10=0 является многочленным, поэтому допустимы все действительные x. В нём повторяется квадрат выражения x − 2; введём новую переменную t = (x − 2)². Обязательно учитываем t ≥ 0.

2. Четвёртая степень равна квадрату новой переменной: (x − 2)⁴ = t². Получаем квадратное уравнение относительно t:
t² + 3t − 10 = 0.
D = (3)² − 4 · (1) · (−10) = 49.
√49 = 7. По формуле корней t = −(3) ± 72 · (1).
Получаем t = −5, t = 2.

3. Значение t = −5 отрицательно и не может быть квадратом действительного числа. Остаётся t = 2, то есть (x − 2)² = 2. Следовательно, x − 2 = −√2 или x − 2 = √2.
Переносим постоянное слагаемое и получаем:
x = 2 − √2 или x = 2 + √2.

4. Проверка обоих значений: при каждом из них (x − 2)² = 2, а (x − 2)⁴ = 4. Левая часть исходного уравнения равна 4 + (3) · 2 + (−10) = 0. Оба корня действительные и различны. Других не существует: отрицательный t невозможен, а положительный квадрат даёт ровно два значения x.

Ответ: 2 − √2; 2 + √2.