Задание 22C756: Многоугольники

1. Обозначим большее и меньшее основания через a и b, боковую сторону через c, высоту через h. Для описанной около окружности трапеции a + b = 2c. Поэтому P = a + b + 2c = 4c.

2. c = 1204 = 30, a + b = 60. Площадь S = a + b2h = ch, откуда h = 54030 = 18.

3. Опустим высоты из концов меньшего основания. Проекция боковой стороны x = a − b2. По теореме Пифагора x = √c² − h² = √900 − 324 = 24. Тогда b = c − x = 6, a = c + x = 54.

4. Пусть O — пересечение диагоналей, y — расстояние от O до меньшего основания. Треугольники с вершиной O и основаниями a и b подобны: их высоты относятся как a:b. Поэтому yh − y = ba, откуда y = hba + b.

5. y = 18 · 660 = 1,8.

Проверка: основания 54 и 6 вместе с двумя сторонами 30 дают периметр 120; полусумма оснований, умноженная на высоту 18, даёт площадь 540.

Ответ: 1,8.