Задание 9CA354: Многоугольники

1. Пусть M — середина AB. Продлим биссектрису DM до пересечения с прямой BC в точке K. Так как AD ∥ BC, треугольники AMD и BMK подобны. Из AM = MB получаем AD = BK.

2. Луч DK делит угол ADC пополам. Из параллельности KC и AD следует ∠CDK = ∠DKC, поэтому треугольник DCK равнобедренный и CK = CD. При этом K лежит за B, значит CK = CB + BK = BC + AD.

3. Отсюда AD = CD − BC = 35 − 7 = 28. Отложим на AD отрезок DE = BC = 7. Тогда EBCD — параллелограмм, EB = CD = 35, AE = AD − BC = 21.

4. В треугольнике ABE имеем AB² + AE² = 28² + 21² = 1225 = 35² = BE². По обратной теореме Пифагора ∠BAE = 90°, то есть AB является высотой трапеции.

5. S = AD + BC2 · AB = 28 + 72 · 28 = 490.

Проверка: боковая сторона CD восстанавливается как √28² + 21² = 35; найденная высота и оба основания удовлетворяют исходным данным.

Ответ: 490.