Задание 21F913: Целые и дробно-рациональные неравенства. Системы и совокупности неравенств

1. По исходному рисунку множество решений: (−∞; −8] ∪ [8; +∞). Пустые точки не входят в него, закрашенные входят. Сравним это множество с решениями предложенных неравенств.

2. Вариант 1: x² + 64 ≥ 0.
Перенесём правую часть влево: x² + 64 − (0) ≥ 0.
Разложим полученный многочлен на множители.
Итак, исследуем знак выражения f(x) = x² + 64; требуется f(x) ≥ 0.
Действительных нулей и точек разрыва нет.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; +∞): при x = 0 получаем f(x) = 64, знак положителен.
Множество решений: (−∞; +∞).

3. Вариант 2: x² − 64 ≤ 0.
Перенесём правую часть влево: x² − 64 − (0) ≤ 0.
Разложим полученный многочлен на множители.
x² − 64 = (x − 8) · (x + 8).
Итак, исследуем знак выражения f(x) = (x − 8) · (x + 8); требуется f(x) ≤ 0.
Критические точки в порядке возрастания: −8, 8.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; −8): при x = −9 получаем f(x) = 17, знак положителен.
(−8; 8): при x = −7 получаем f(x) = −15, знак отрицателен.
(8; +∞): при x = 9 получаем f(x) = 17, знак положителен.
x = −8 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.
x = 8 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.
Множество решений: [−8; 8].

4. Вариант 3: x² − 64 ≥ 0.
Перенесём правую часть влево: x² − 64 − (0) ≥ 0.
Разложим полученный многочлен на множители.
x² − 64 = (x − 8) · (x + 8).
Итак, исследуем знак выражения f(x) = (x − 8) · (x + 8); требуется f(x) ≥ 0.
Критические точки в порядке возрастания: −8, 8.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; −8): при x = −9 получаем f(x) = 17, знак положителен.
(−8; 8): при x = −7 получаем f(x) = −15, знак отрицателен.
(8; +∞): при x = 9 получаем f(x) = 17, знак положителен.
x = −8 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.
x = 8 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.
Множество решений: (−∞; −8] ∪ [8; +∞).

5. Вариант 4: x² + 64 ≤ 0.
Перенесём правую часть влево: x² + 64 − (0) ≤ 0.
Разложим полученный многочлен на множители.
Итак, исследуем знак выражения f(x) = x² + 64; требуется f(x) ≤ 0.
Действительных нулей и точек разрыва нет.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; +∞): при x = 0 получаем f(x) = 64, знак положителен.
Множество решений: ∅.

6. Только вариант 3 даёт в точности отмеченное на рисунке множество (−∞; −8] ∪ [8; +∞).

В условии требуется номер варианта. Найденному множеству (−∞; −8] ∪ [8; +∞) соответствует вариант 3.

Проверка полноты: решения всех четырёх неравенств сопоставлены с границами и отмеченными промежутками рисунка.

Ответ: 3.