Задание 150B1F: Целые и дробно-рациональные неравенства. Системы и совокупности неравенств

1. Исходное неравенство: 81 · x² > 64.
В обеих частях многочлены, поэтому допустимы все действительные x.

2. Перенесём правую часть влево: 81 · x² − (64) > 0.
Разложим полученный многочлен на множители.
Итак, исследуем знак выражения f(x) = (9 · x − 8) · (9 · x + 8); требуется f(x) > 0.

3. Применим метод интервалов.
Критические точки в порядке возрастания: −89, 89.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; −89): при x = −2 получаем f(x) = 260, знак положителен.
(−89; 89): при x = 0 получаем f(x) = −64, знак отрицателен.
(89; +∞): при x = 2 получаем f(x) = 260, знак положителен.
x = −89 даёт ноль; исключаем эту точку, так как неравенство строгое.
x = 89 даёт ноль; исключаем эту точку, так как неравенство строгое.

4. Выбираем все промежутки, где выполняется исходный знак >, и учитываем граничные точки. Получаем:
x ∈ (−∞; −89) ∪ (89; +∞).
Проверены все промежутки между критическими точками и сами точки, поэтому множество решений полное.

В условии требуется номер варианта. Найденному множеству (−∞; −89) ∪ (89; +∞) соответствует вариант 1.

Проверка полноты: знаки внутри промежутков, включение нулей и исходные ограничения учтены.

Ответ: 1.