Задание A4B517: Целые и дробно-рациональные неравенства. Системы и совокупности неравенств

1. По исходному рисунку множество решений: (−∞; −3) ∪ (3; +∞). Пустые точки не входят в него, закрашенные входят. Сравним это множество с решениями предложенных неравенств.

2. Вариант 1: x² − 9 > 0.
Перенесём правую часть влево: x² − 9 − (0) > 0.
Разложим полученный многочлен на множители.
x² − 9 = (x − 3) · (x + 3).
Итак, исследуем знак выражения f(x) = (x − 3) · (x + 3); требуется f(x) > 0.
Критические точки в порядке возрастания: −3, 3.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; −3): при x = −4 получаем f(x) = 7, знак положителен.
(−3; 3): при x = −2 получаем f(x) = −5, знак отрицателен.
(3; +∞): при x = 4 получаем f(x) = 7, знак положителен.
x = −3 даёт ноль; исключаем эту точку, так как неравенство строгое.
x = 3 даёт ноль; исключаем эту точку, так как неравенство строгое.
Множество решений: (−∞; −3) ∪ (3; +∞).

3. Вариант 2: x² + 9 > 0.
Перенесём правую часть влево: x² + 9 − (0) > 0.
Разложим полученный многочлен на множители.
Итак, исследуем знак выражения f(x) = x² + 9; требуется f(x) > 0.
Действительных нулей и точек разрыва нет.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; +∞): при x = 0 получаем f(x) = 9, знак положителен.
Множество решений: (−∞; +∞).

4. Вариант 3: x² − 9 < 0.
Перенесём правую часть влево: x² − 9 − (0) < 0.
Разложим полученный многочлен на множители.
x² − 9 = (x − 3) · (x + 3).
Итак, исследуем знак выражения f(x) = (x − 3) · (x + 3); требуется f(x) < 0.
Критические точки в порядке возрастания: −3, 3.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; −3): при x = −4 получаем f(x) = 7, знак положителен.
(−3; 3): при x = −2 получаем f(x) = −5, знак отрицателен.
(3; +∞): при x = 4 получаем f(x) = 7, знак положителен.
x = −3 даёт ноль; исключаем эту точку, так как неравенство строгое.
x = 3 даёт ноль; исключаем эту точку, так как неравенство строгое.
Множество решений: (−3; 3).

5. Вариант 4: x² + 9 < 0.
Перенесём правую часть влево: x² + 9 − (0) < 0.
Разложим полученный многочлен на множители.
Итак, исследуем знак выражения f(x) = x² + 9; требуется f(x) < 0.
Действительных нулей и точек разрыва нет.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; +∞): при x = 0 получаем f(x) = 9, знак положителен.
Множество решений: ∅.

6. Только вариант 1 даёт в точности отмеченное на рисунке множество (−∞; −3) ∪ (3; +∞).

В условии требуется номер варианта. Найденному множеству (−∞; −3) ∪ (3; +∞) соответствует вариант 1.

Проверка полноты: решения всех четырёх неравенств сопоставлены с границами и отмеченными промежутками рисунка.

Ответ: 1.