Задание 1BEFE3: Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени

1. Даны a = 3. Эти значения ненулевые, поэтому деление и отрицательные степени допустимы. Сначала упростим выражение по свойствам степеней, затем выполним числовые вычисления.

2. Используем правила: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐaⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Степень произведения распределяется по множителям; отрицательная степень означает обратное число. Для числовых составных оснований используем разложение на простые множители.

3. Промежуточные преобразования:
(a⁸)² = a¹⁶.
(a¹⁹)⁻¹ = a⁻¹⁹.
Соберём показатели каждого основания. Показатели множителей знаменателя входят со знаком минус:
Для основания a: 16 + 5 − 19 = 2.
После сокращения получаем a².
При подстановке: 3² = 9.

4. Проверка прямым вычислением исходного выражения без сокращения буквенных степеней: Числитель после подстановки равен 10460353203, знаменатель — 1162261467. Их отношение: 104603532031162261467 = 9.
Получено то же значение 9. Условие ненулевых знаменателей выполнено, а все преобразования сохраняют значение выражения.

Ответ: 9.