Задание 124EEE: Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени

1. Все числовые основания положительны и ненулевые, поэтому отрицательные степени и деление определены. Сначала упростим выражение по свойствам степеней, затем выполним числовые вычисления.

2. Используем правила: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐaⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Степень произведения распределяется по множителям; отрицательная степень означает обратное число. Для числовых составных оснований используем разложение на простые множители.

3. Промежуточные преобразования:
4 = 2².
28 = 2² · 7.
Соберём показатели каждого основания. Показатели множителей знаменателя входят со знаком минус:
Для основания 2: 12 − 8 = 4.
Для основания 7: 6 − 5 = 1.
После сокращения получаем 2⁴ · 7.
2⁴ · 7 = 112.

4. Проверка прямым вычислением исходного выражения без сокращения буквенных степеней: Числитель после подстановки равен 481890304, знаменатель — 4302592. Их отношение: 4818903044302592 = 112.
Получено то же значение 112. Условие ненулевых знаменателей выполнено, а все преобразования сохраняют значение выражения.

Ответ: 112.