Задание 1BBDA9: Целые и дробно-рациональные уравнения. Системы и совокупности уравнений

1. Уравнение x⁴=(3x−4)² определено при всех действительных x. Левая часть — квадрат x², правая — квадрат выражения 3x − 4. Используем разность квадратов, чтобы учесть оба возможных знака.

2. Перенесём правую часть влево и разложим разность квадратов:
(x² − (3x − 4)) · (x² + (3x − 4)) = 0.
После раскрытия скобок внутри множителей:
(x² − 3x + 4) · (x² + 3x − 4) = 0.
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

3. Решим оба квадратных уравнения:
x² − 3x + 4 = 0.
D = (−3)² − 4 · (1) · (4) = −7.
Дискриминант отрицателен, поэтому действительных корней нет.

x² + 3x − 4 = 0.
D = (3)² − 4 · (1) · (−4) = 25.
√25 = 5. По формуле корней x = −(3) ± 52 · (1).
Получаем x = −4, x = 1.

4. Соберём все действительные корни: −4, 1. Проверка в исходном уравнении:
x = −4: слева (−4)⁴ = 256; справа (3(−4)−4)² = 256.
x = 1: слева (1)⁴ = 1; справа (3(1)−4)² = 1.
Разложение на множители равносильно исходному равенству, а оба множителя исследованы полностью. Поэтому других корней нет.

Ответ: −4; 1.