Задание 193429: Целые и дробно-рациональные уравнения. Системы и совокупности уравнений

1. Уравнение x⁴=(2x−3)² определено при всех действительных x. Левая часть — квадрат x², правая — квадрат выражения 2x − 3. Используем разность квадратов, чтобы учесть оба возможных знака.

2. Перенесём правую часть влево и разложим разность квадратов:
(x² − (2x − 3)) · (x² + (2x − 3)) = 0.
После раскрытия скобок внутри множителей:
(x² − 2x + 3) · (x² + 2x − 3) = 0.
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

3. Решим оба квадратных уравнения:
x² − 2x + 3 = 0.
D = (−2)² − 4 · (1) · (3) = −8.
Дискриминант отрицателен, поэтому действительных корней нет.

x² + 2x − 3 = 0.
D = (2)² − 4 · (1) · (−3) = 16.
√16 = 4. По формуле корней x = −(2) ± 42 · (1).
Получаем x = −3, x = 1.

4. Соберём все действительные корни: −3, 1. Проверка в исходном уравнении:
x = −3: слева (−3)⁴ = 81; справа (2(−3)−3)² = 81.
x = 1: слева (1)⁴ = 1; справа (2(1)−3)² = 1.
Разложение на множители равносильно исходному равенству, а оба множителя исследованы полностью. Поэтому других корней нет.

Ответ: −3; 1.