Задание 17AE25: Механика

Рассматриваем спортсмена как материальную точку в системе отсчёта Земли. Старт означает начало движения из покоя. Обозначим общий модуль ускорения через a, скорость в точке B через v, радиус полуокружности BC через R, времена двух этапов через t₁ и t₂.

На прямом участке AB ускорение направлено вдоль движения. Выберем ось x от A к B. Из закона равноускоренного движения:
v = at₁, t₁ = va.
На участке BC модуль скорости постоянен, но её направление меняется. Ускорение направлено к центру окружности, поэтому оно не равно нулю и имеет модуль:
a = v²R.
По условию это тот же модуль a, следовательно,
t₁ = vv² · R⁻¹ = Rv.

Длина дуги полуокружности равна πR. Поэтому
t₂ = πRv,
t₂t₁ = πR · v⁻¹R · v⁻¹ = π.

Числовая оценка: π ≈ 3,14. Результат не зависит от размеров дорожки или достигнутой скорости.

Проверка. На прямом участке средняя скорость равна v · 2⁻¹, поэтому длина AB = vt₁ · 2⁻¹ = R · 2⁻¹. Дуга BC длиннее AB в 2π раза, но на ней скорость вдвое больше средней скорости разгона. Значит, отношение времён равно π, а не 2π.