Задание 173A22: Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени

1. Все числовые основания положительны и ненулевые, поэтому отрицательные степени и деление определены. Сначала упростим выражение по свойствам степеней, затем выполним числовые вычисления.

2. Используем правила: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐaⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Степень произведения распределяется по множителям; отрицательная степень означает обратное число. Для числовых составных оснований используем разложение на простые множители.

3. Промежуточные преобразования:
(2⁹)⁻³ = 2⁻²⁷.
(2⁻²⁹)⁻¹ = 2²⁹.
Соберём показатели каждого основания. Показатели множителей знаменателя входят со знаком минус:
Для основания 2: −27 + 29 = 2.
После сокращения получаем 2².
2² = 4.

4. Проверка прямым вычислением исходного выражения без сокращения буквенных степеней: Числитель после подстановки равен 536870912, знаменатель — 134217728. Их отношение: 536870912134217728 = 4.
Получено то же значение 4. Условие ненулевых знаменателей выполнено, а все преобразования сохраняют значение выражения.

Ответ: 4.