Задание 12D604: Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени

1. Подставляемые значения: a = 2. Все они положительны, поэтому знаменатели ненулевые, а степени переменных положительны. Чётные степени отрицательного основания имеют положительный знак; подкоренное выражение определено.

2. При умножении степеней одного основания показатели складываем, при делении — вычитаем, при возведении степени в степень — перемножаем. Числовые множители при необходимости раскладываем на простые:
Промежуточные преобразования:
36 = 2² · 3².
(a¹⁵)⁻¹ = a⁻¹⁵.
Для основания 2: 2 = 2.
Для основания 3: 2 = 2.
Для основания a: 21 − 15 = 6.
Подкоренное выражение равно 36 · a⁶.

3. Все итоговые показатели чётны. Получаем квадрат:
36 · a⁶ = (6 · a³)².
По правилу √u² = |u| исходный корень равен |6 · a³|. При данных положительных значениях выражение внутри модуля положительно.
6 · 2³ = 48.

4. Проверка в исходном подкоренном выражении: Числитель после подстановки равен 75497472, знаменатель — 32768. Их отношение: 7549747232768 = 2304.
Получено 2304. Квадрат найденного неотрицательного числа: 48² = 2304. Поэтому значение исходного арифметического корня равно 48.

Ответ: 48.