Задание 12A02F: Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени

1. Даны значения a = 45; b = 7 + 35 = 7 · 5 + 35 = 385. Подкоренное выражение — полный квадрат. Используем формулу квадрата суммы или разности, включая удвоенное произведение слагаемых.

2. Разложим подкоренное выражение:
9 · a² + 6 · a · b + b² = (3 · a + b)².
Равенство проверяется раскрытием скобок: квадрат каждого слагаемого и их удвоенное произведение дают исходные три члена.

3. Арифметический квадратный корень неотрицателен, поэтому √u² = |u|. Следовательно,
√9 · a² + 6 · a · b + b² = |3 · a + b|.
Подставим данные в выражение внутри модуля:
125 + 385 = 10.
Получаем |10| = 10.

4. Проверка непосредственным вычислением исходного подкоренного выражения:
9 · a² = 14425; 6 · a · b = 91225; b² = 144425.
Сумма этих трёх слагаемых равна 100. 10² = 100, причём 10 неотрицательно. Значит, выбран именно арифметический корень.

Ответ: 10.