Задание 11EC1E: Целые и дробно-рациональные уравнения. Системы и совокупности уравнений

1. Рассматриваем действительные значения x. Оба слагаемых в левой части — квадраты, поэтому каждый неотрицателен. Их сумма равна нулю тогда и только тогда, когда оба квадрата одновременно равны нулю.

2. Следовательно, исходное уравнение равносильно системе:
x² − 4 = 0,
x² − 3x − 10 = 0.
Важно, что должны выполняться сразу оба уравнения, а не одно из них.

3. Из первого уравнения x² = 4 = 2². Поэтому возможны только два значения: x = −2 и x = 2. Проверим их во втором уравнении:
При x = −2: (−2)² − 3 · (−2) − 10 = 0. Второе уравнение выполнено.
При x = 2: 2² − 3 · 2 − 10 = −12. Второе уравнение не выполнено, это значение исключаем.
Остаётся единственный корень x = −2.

4. Проверка в исходном уравнении при x = −2:
(−2)² − 4 = 0,
(−2)² − 3 · (−2) − 10 = 0.
Поэтому исходная сумма квадратов равна 0² + 0² = 0. Других действительных корней нет: первый квадрат обращается в ноль только при двух уже проверенных значениях.

Ответ: −2.