Задание 27B07D: Целые и дробно-рациональные уравнения. Системы и совокупности уравнений

1. Исходное уравнение: x²−3x+√6−x=√6−x+28. Квадратные корни определены, если 6 − x неотрицательно. Область допустимых значений: x ≤ 6.

2. На этой области одинаковое слагаемое √6 − x можно вычесть из обеих частей. Получаем x² − 3x − 28 = 0. Область x ≤ 6 сохраняем; возводить уравнение в квадрат не требуется.

3. Решим полученное квадратное уравнение:
x² − 3x − 28 = 0.
D = (−3)² − 4 · (1) · (−28) = 121.
√121 = 11. По формуле корней x = −(−3) ± 112 · (1).
Получаем x = −4, x = 7.

4. Проверим каждого кандидата по исходной области:
x = −4: 6 − (−4) = 10; подкоренное выражение неотрицательно, корень подходит.
x = 7: 6 − (7) = −1; подкоренное выражение отрицательно, значение недопустимо.

5. Проверка принятого корня x = −4. Подкоренное выражение равно 10, а часть без корня равна (−4)² + (−3) · (−4) = 28. Поэтому обе части исходного уравнения равны 28 + √10. Все преобразования на области допустимых значений равносильны, других корней нет.

Ответ: −4.