Задание 111583: Целые и дробно-рациональные неравенства. Системы и совокупности неравенств

1. Исходное неравенство: x² − 8 · x + 15x − 3 ≤ 0.
Исключаем нули исходных знаменателей: x ≠ 3. Эти ограничения сохраняем и после сокращений.

2. Перенесём правую часть влево: x² − 8 · x + 15x − 3 − (0) ≤ 0.
Правая часть равна нулю. Преобразуем числитель и знаменатель, сохраняя исходные ограничения.
x² − 8 · x + 15 = (x − 5) · (x − 3).
Итак, исследуем знак выражения f(x) = x − 5; требуется f(x) ≤ 0.

3. Применим метод интервалов.
Критические точки в порядке возрастания: 3, 5.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; 3): при x = 2 получаем f(x) = −3, знак отрицателен.
(3; 5): при x = 4 получаем f(x) = −1, знак отрицателен.
(5; +∞): при x = 6 получаем f(x) = 1, знак положителен.
x = 3 исключаем: исходный знаменатель равен нулю.
x = 5 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.

4. Выбираем все промежутки, где выполняется исходный знак ≤, и учитываем граничные точки. Получаем:
x ∈ (−∞; 3) ∪ (3; 5].
Проверены все промежутки между критическими точками и сами точки, поэтому множество решений полное.

Проверка полноты: знаки внутри промежутков, включение нулей и исходные ограничения учтены.

Ответ: (−∞; 3) ∪ (3; 5].