Задание 0DC884: Целые и дробно-рациональные уравнения. Системы и совокупности уравнений

1. Исходное уравнение (x−2)(x²+8x+16)=7(x+4) определено при всех действительных x. Найдём все корни, сохранив значения, при которых общий множитель обращается в ноль.

2. Квадратный трёхчлен в левой части — полный квадрат:
x² + 8x + 16 = (x + 4)².
Перенесём правую часть влево и вынесем общий множитель:
(x + 4) · ((x−2) · (x + 4) − 7) = 0.
На x + 4 не делим: иначе можно потерять корень x = −4.

3. Первый множитель даёт x = −4. Второй даёт уравнение (x−2) · (x + 4) − 7 = 0. Раскроем скобки и решим его:
x² + 2x − 15 = 0.
D = (2)² − 4 · (1) · (−15) = 64.
√64 = 8. По формуле корней x = −(2) ± 82 · (1).
Получаем x = −5, x = 3.

4. Объединим полученные значения: −5, −4, 3. Проверка каждого корня в исходном уравнении:
x = −5: слева ((−5)−2)((−5)²+8(−5)+16) = −7; справа 7((−5)+4) = −7.
x = −4: слева ((−4)−2)((−4)²+8(−4)+16) = 0; справа 7((−4)+4) = 0.
x = 3: слева ((3)−2)((3)²+8(3)+16) = 49; справа 7((3)+4) = 49.
Все значения допустимы. Общий множитель и оставшийся квадратный множитель полностью исследованы, поэтому других корней нет.

Ответ: −5; −4; 3.