Задание 0DC82F: Функция и её график. Область определения и множество значений, нули, знакопостоянство, монотонность и экстремумы

1. Функция задана по частям. Каждую формулу используем только на указанном в условии промежутке; граничную точку включаем только при нестрогом неравенстве.

2. Построим каждую часть и найдём её характерные точки.

Ветвь 1: y = 52x − 72 при x < 2. Это возрастающая прямая. Из y = m получаем x = 25m + 75; оставляем точку только в промежутке этой ветви. Граничные точки: (2; 32) выколота.

Ветвь 2: y = −3x + 152 при 2 ≤ x ≤ 3. Это убывающая прямая. Из y = m получаем x = −13m + 52; оставляем точку только в промежутке этой ветви. Граничные точки: (2; 32) включена, (3; −32) включена.

Ветвь 3: y = x − 6 при x > 3. Это возрастающая прямая. Из y = m получаем x = m + 6; оставляем точку только в промежутке этой ветви. Граничные точки: (3; −3) выколота.

3. Число пересечений может меняться на уровнях вершин, конечных границ ветвей и горизонтальных асимптот. Здесь это −3, −32, 32. Проверим эти уровни отдельно и сравним соседние промежутки:

m ∈ (−∞; −3): по ветвям 1 + 0 + 0 = 1 точка.

m = −3: по ветвям 1 + 0 + 0 = 1 точка.

m ∈ (−3; −32): по ветвям 1 + 0 + 1 = 2 точки.

m = −32: по ветвям 1 + 1 + 1 = 3 точки.

m ∈ (−32; 32): по ветвям 1 + 1 + 1 = 3 точки.

m = 32: по ветвям 0 + 1 + 1 = 2 точки.

m ∈ (32; +∞): по ветвям 0 + 0 + 1 = 1 точка.

Проверка: в таблице учтены все уровни и открытые промежутки между ними. Корни проверены в областях своих ветвей; общая граничная точка отнесена к ветви с нестрогим неравенством и не посчитана дважды.

Ответ: m ∈ (−3; −32) ∪ {32}.