Задание 03E125: Функция и её график. Область определения и множество значений, нули, знакопостоянство, монотонность и экстремумы

1. Функция задана по частям. Каждую формулу используем только на указанном в условии промежутке; граничную точку включаем только при нестрогом неравенстве.

2. Построим каждую часть и найдём её характерные точки.

Ветвь 1: y = 4x − 5 при x < 1. Это возрастающая прямая. Из y = m получаем x = 14m + 54; оставляем точку только в промежутке этой ветви. Граничные точки: (1; −1) выколота.

Ветвь 2: y = −52x + 5 при 1 ≤ x ≤ 4. Это убывающая прямая. Из y = m получаем x = −25m + 2; оставляем точку только в промежутке этой ветви. Граничные точки: (1; 52) включена, (4; −5) включена.

Ветвь 3: y = x − 9 при x > 4. Это возрастающая прямая. Из y = m получаем x = m + 9; оставляем точку только в промежутке этой ветви. Граничные точки: (4; −5) выколота.

3. Число пересечений может меняться на уровнях вершин, конечных границ ветвей и горизонтальных асимптот. Здесь это −5, −1, 52. Проверим эти уровни отдельно и сравним соседние промежутки:

m ∈ (−∞; −5): по ветвям 1 + 0 + 0 = 1 точка.

m = −5: по ветвям 1 + 1 + 0 = 2 точки.

m ∈ (−5; −1): по ветвям 1 + 1 + 1 = 3 точки.

m = −1: по ветвям 0 + 1 + 1 = 2 точки.

m ∈ (−1; 52): по ветвям 0 + 1 + 1 = 2 точки.

m = 52: по ветвям 0 + 1 + 1 = 2 точки.

m ∈ (52; +∞): по ветвям 0 + 0 + 1 = 1 точка.

Проверка: в таблице учтены все уровни и открытые промежутки между ними. Корни проверены в областях своих ветвей; общая граничная точка отнесена к ветви с нестрогим неравенством и не посчитана дважды.

Ответ: m ∈ {−5} ∪ [−1; 52].