Задание 0CA31E: Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени

1. Подставляемые значения: a = 2. Все они положительны, поэтому знаменатели ненулевые, а степени переменных положительны. Чётные степени отрицательного основания имеют положительный знак; подкоренное выражение определено.

2. При умножении степеней одного основания показатели складываем, при делении — вычитаем, при возведении степени в степень — перемножаем. Числовые множители при необходимости раскладываем на простые:
Промежуточные преобразования:
25 = 5².
(a¹¹)⁻¹ = a⁻¹¹.
Для основания 5: 2 = 2.
Для основания a: 19 − 11 = 8.
Подкоренное выражение равно 25 · a⁸.

3. Все итоговые показатели чётны. Получаем квадрат:
25 · a⁸ = (5 · a⁴)².
По правилу √u² = |u| исходный корень равен |5 · a⁴|. При данных положительных значениях выражение внутри модуля положительно.
5 · 2⁴ = 80.

4. Проверка в исходном подкоренном выражении: Числитель после подстановки равен 13107200, знаменатель — 2048. Их отношение: 131072002048 = 6400.
Получено 6400. Квадрат найденного неотрицательного числа: 80² = 6400. Поэтому значение исходного арифметического корня равно 80.

Ответ: 80.