Задание 0B1A91: Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени

1. Даны значения a = 5; b = −4. Подкоренное выражение — полный квадрат. Используем формулу квадрата суммы или разности, включая удвоенное произведение слагаемых.

2. Разложим подкоренное выражение:
a² + 6 · a · b + 9 · b² = (a + 3 · b)².
Равенство проверяется раскрытием скобок: квадрат каждого слагаемого и их удвоенное произведение дают исходные три члена.

3. Арифметический квадратный корень неотрицателен, поэтому √u² = |u|. Следовательно,
√a² + 6 · a · b + 9 · b² = |a + 3 · b|.
Подставим данные в выражение внутри модуля:
3 · −4 + 5 = −7.
Получаем |−7| = 7.

4. Проверка непосредственным вычислением исходного подкоренного выражения:
a² = 25; 6 · a · b = −120; 9 · b² = 144.
Сумма этих трёх слагаемых равна 49. 7² = 49, причём 7 неотрицательно. Значит, выбран именно арифметический корень.

Ответ: 7.