Задание 09ACB6: Геометрические фигуры и их свойства

Проверим каждое утверждение отдельно: для верного используем свойство фигуры, для неверного достаточно одного контрпримера.

1. Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его высотой.
Неверно. Возьмём равнобедренный треугольник с углами A = 40°, B = C = 70°. Биссектриса из B образует с BA угол 35°. В треугольнике, составленном из BA, этой биссектрисы и части AC, угол при их пересечении равен 180° − 40° − 35° = 105°. Значит биссектриса из B не перпендикулярна AC и высотой не является.

2. Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является ромбом.
Неверно. У прямоугольника со сторонами 2 и 3 диагонали равны: каждая равна √13 по теореме Пифагора. Но соседние стороны различны, поэтому ромбом он не является.

3. Существует прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны.
Верно. Примером является квадрат: он является прямоугольником, а его диагонали взаимно перпендикулярны. Например, у квадрата с вершинами (1; 0), (0; 1), (−1; 0), (0; −1) диагонали лежат на перпендикулярных осях координат.

Проверка: рассмотрены все три утверждения. Верны пункты 3. В условии требуется выбрать одно утверждение, и оно единственное.

Ответ: 3.