Задание 030E68: Магнитное поле

Дано: q=3,2·10⁻¹⁹ Кл, m=1,5·10⁻²⁵ кг, U=2 кВ=2000 В, B=0,5 Тл. Начальная скорость и сила тяжести пренебрежимо малы. Найти радиус R.
Систему отсчёта связываем с установкой и считаем инерциальной. Ион описываем материальной точкой. На участке разгона действует электрическая сила qE по полю. Ось Ox направим по скорости при входе в магнитное поле, Oy — к центру окружности в точке входа, Oz — перпендикулярно плоскости движения. Для положительного иона можно выбрать магнитную индукцию вдоль −Oz; тогда сила Лоренца в точке входа направлена вдоль +Oy.
Работа электрического поля равна изменению кинетической энергии:
qU=mv²2; v²=2qUm.
В магнитном поле на ион действует F_Л=qvB, поскольку движение по окружности означает v⊥B. Сила перпендикулярна скорости и не совершает работы, поэтому модуль скорости постоянен.
Второй закон Ньютона в проекции на радиус к центру:
qvB=mv²R; R=mvqB.
Возведём последнее равенство в квадрат и подставим v²:
R²=m²q²B²·2qUm=2mUqB².
Подстановка:
R²=2·1,5·10⁻²⁵ кг·2000 В3,2·10⁻¹⁹ Кл·(0,5 Тл)²=0,0075 м².
R=√0,0075 м≈0,0866 м=8,66 см.
Проверка: v²≈8,533·10⁹ м²·с⁻², v≈9,238·10⁴ м·с⁻¹. Энергия mv²2=6,4·10⁻¹⁶ Дж совпадает с qU. При найденном R силы qvB и mv²·R⁻¹ обе примерно 1,478·10⁻¹⁴ Н.

Ответ: R≈0,0866 м = 8,66 см.