Задание OGEPHYSA5E55D: Закон сохранения импульса для замкнутой системы тел. Реактивное движение

Дано: m₁ = 2 кг, m₂ = 3 кг. Шары движутся навстречу, модули обеих скоростей равны 4 м·с⁻¹. После удара шары соединяются. В модели задачи выделившаяся теплота равна потере кинетической энергии системы.

Выберем систему отсчёта Земли, ось Ox направим вдоль начальной скорости первого тела, Oy — вверх. В течение короткого удара внешним импульсом вдоль Ox пренебрегаем. Тяжесть каждого тела направлена вниз; при движении по горизонтальной опоре её нормальная реакция направлена вверх. Эти силы не дают проекций на Ox. Силы взаимодействия тел обозначим F₂₁ на первом и F₁₂ на втором: их проекции противоположны.
Второй закон Ньютона для каждого тела вдоль Ox:
m₁a₁ₓ = F₂₁ₓ;
m₂a₂ₓ = F₁₂ₓ.
По третьему закону Ньютона F₂₁ₓ + F₁₂ₓ = 0. Поэтому изменения импульсов взаимно компенсируются и сохраняется суммарная проекция импульса системы:
m₁v₁ₓ + m₂v₂ₓ = (m₁ + m₂)u_x.
После абсолютно неупругого удара тела движутся совместно, их конечная скорость одна. Кинетическая энергия при таком ударе обычно уменьшается.

Проекции скоростей v₁ₓ = +4 м·с⁻¹, v₂ₓ = −4 м·с⁻¹. Находим общую конечную проекцию:
u_x = m₁v₁ − m₂v₂m₁ + m₂;
u_x = 2 кг · 4 м·с⁻¹ − 3 кг · 4 м·с⁻¹2 кг + 3 кг = −0,8 м·с⁻¹.
Модуль скорости u = 0,8 м·с⁻¹; движение направлено по первоначальной скорости второго шара.

Начальная энергия — сумма энергий обоих шаров, знаки направлений в квадратах не учитываются:
E_до = m₁v₁²2 + m₂v₂²2.
Подставляем:
E_до = 2 кг · (4 м·с⁻¹)²2 + 3 кг · (4 м·с⁻¹)²2 = 16 Дж + 24 Дж = 40 Дж.
Конечная энергия:
E_после = (m₁ + m₂)u²2;
E_после = 5 кг · (0,8 м·с⁻¹)²2 = 1,6 Дж.
Тогда:
Q = E_до − E_после;
Q = 40 Дж − 1,6 Дж = 38,4 Дж.

Проверка. Импульс до удара 8 − 12 = −4 кг·м·с⁻¹, после 5 · (−0,8) = −4 кг·м·с⁻¹. Энергетический баланс 1,6 Дж + 38,4 Дж = 40 Дж выполняется, теплота положительна. Сохранение импульса не означает сохранения кинетической энергии при слипании. Ответ: 38,4 Дж.