Задание OGEPHYS709280: Скорость равномерного движения тела по окружности. Направление скорости. Формула для вычисления скорости через радиус окружности и период обращения. Центростремительное ускорение. Направление центростремительного ускорения. Формула для вычисления ускорения. Формула, связывающая период и частоту обращения.

Сравниваем две установившиеся круговые орбиты в системе отсчёта с началом в центре Земли, считаемой инерциальной. Радиус r отсчитывается от центра Земли, а не от её поверхности. Масса Земли M и масса корабля m неизменны. Двигатели при движении по каждой рассматриваемой круговой орбите выключены, сопротивлением пренебрегаем.

На корабль действует сила тяготения к центру Земли. Радиальную ось направим к центру, касательную — по движению. Проекции второго закона Ньютона:
радиальная: F_тяг = ma_r;
касательная: 0 = ma_τ.
Закон тяготения и формула центростремительного ускорения:
F_тяг = GMmr²;
a_r = v²r.
Подставляя их в радиальную проекцию, получим:
GMmr² = mv²r,
откуда v² = GMr и v = √GMr.

Период равен длине окружности, делённой на скорость:
T = 2πrv.
Для сравнения удобно возвести в квадрат и использовать найденное v²:
T² = 4π²r²v² = 4π²r³GM.
При постоянной M квадрат периода растёт вместе с кубом радиуса, значит, период тоже растёт с радиусом.

Здесь новый радиус меньше прежнего. По v² = GMr квадрат скорости и сама скорость увеличиваются — цифра 1. По формуле для T² период уменьшается — цифра 2. Ответ в порядке столбцов: 12.

Проверка. При уменьшении радиуса в 4 раза скорость на круговой орбите возрастает в 2 раза. Длина окружности уменьшается в 4 раза; её отношение к скорости, то есть период, уменьшается в 8 раз. Этот пример подтверждает одновременно оба изменения. Ускорение двигателя при самом переходе не входит в сравнение конечных круговых орбит.