Задание OGEPHYS690BB8: Закон сохранения импульса для замкнутой системы тел. Реактивное движение

Массы шаров m₁ = 6 кг и m₂ = 4 кг. До столкновения они движутся навстречу с одинаковым модулем скорости v, после — совместно с проекцией скорости u_x. Выделившаяся энергия Q = 19,2 Дж равна уменьшению кинетической энергии системы.

Выберем систему отсчёта Земли, ось Ox направим вдоль начальной скорости первого тела, Oy — вверх. В течение короткого удара внешним импульсом вдоль Ox пренебрегаем. Тяжесть каждого тела направлена вниз; при движении по горизонтальной опоре её нормальная реакция направлена вверх. Эти силы не дают проекций на Ox. Силы взаимодействия тел обозначим F₂₁ на первом и F₁₂ на втором: их проекции противоположны.
Второй закон Ньютона для каждого тела вдоль Ox:
m₁a₁ₓ = F₂₁ₓ;
m₂a₂ₓ = F₁₂ₓ.
По третьему закону Ньютона F₂₁ₓ + F₁₂ₓ = 0. Поэтому изменения импульсов взаимно компенсируются и сохраняется суммарная проекция импульса системы:
m₁v₁ₓ + m₂v₂ₓ = (m₁ + m₂)u_x.
После абсолютно неупругого удара тела движутся совместно, их конечная скорость одна. Кинетическая энергия при таком ударе обычно уменьшается.

Встречные скорости имеют проекции +v и −v. Поэтому:
(m₁ − m₂)v = (m₁ + m₂)u_x;
u_x = m₁ − m₂m₁ + m₂ · v.
Подставив массы, получим:
u_x = 6 кг − 4 кг6 кг + 4 кг · v = 0,2v.
Общая скорость направлена по первоначальному движению более тяжёлого шара.

Начальная и конечная кинетические энергии:
E_до = (m₁ + m₂)v²2;
E_после = (m₁ + m₂)u_x²2.
После подстановки масс и u_x = 0,2v:
E_до = 5 кг · v²;
E_после = 5 кг · (0,2v)² = 0,2 кг · v².
Следовательно:
Q = E_до − E_после = 4,8 кг · v²;
v² = Q4,8 кг.
Подстановка:
v² = 19,2 Дж4,8 кг = 4 м²·с⁻²;
v = 2 м·с⁻¹.
Берём положительный корень, поскольку требуется модуль скорости.

Проверка. Общая скорость после удара u = 0,4 м·с⁻¹. Начальная энергия 5 · 2² = 20 Дж, конечная 5 · 0,4² = 0,8 Дж; разность 19,2 Дж. Начальный импульс 6 · 2 − 4 · 2 = 4 кг·м·с⁻¹ совпадает с конечным 10 · 0,4 = 4 кг·м·с⁻¹. Ответ: каждый шар первоначально двигался со скоростью 2 м·с⁻¹.