Задание OGEPHYS059573: Закон сохранения импульса для замкнутой системы тел. Реактивное движение

Масса первоначально движущегося шара m₁ = 5 кг, масса неподвижного шара m₂ неизвестна. Начальную скорость первого шара обозначим v, общую конечную — u. Потеряно 50% начальной кинетической энергии, значит, осталось 50%: E_после = 0,5E_до.

Выберем систему отсчёта Земли, ось Ox направим вдоль начальной скорости первого тела, Oy — вверх. В течение короткого удара внешним импульсом вдоль Ox пренебрегаем. Тяжесть каждого тела направлена вниз; при движении по горизонтальной опоре её нормальная реакция направлена вверх. Эти силы не дают проекций на Ox. Силы взаимодействия тел обозначим F₂₁ на первом и F₁₂ на втором: их проекции противоположны.
Второй закон Ньютона для каждого тела вдоль Ox:
m₁a₁ₓ = F₂₁ₓ;
m₂a₂ₓ = F₁₂ₓ.
По третьему закону Ньютона F₂₁ₓ + F₁₂ₓ = 0. Поэтому изменения импульсов взаимно компенсируются и сохраняется суммарная проекция импульса системы:
m₁v₁ₓ + m₂v₂ₓ = (m₁ + m₂)u_x.
После абсолютно неупругого удара тела движутся совместно, их конечная скорость одна. Кинетическая энергия при таком ударе обычно уменьшается.

Второй шар до удара покоился. Поэтому:
m₁v = (m₁ + m₂)u;
u = m₁vm₁ + m₂.
Начальная и конечная энергии всей системы:
E_до = m₁v²2;
E_после = (m₁ + m₂)u²2.
Подставив выражение u и сократив один множитель m₁ + m₂, получим:
E_после = m₁²v²2(m₁ + m₂).
Разделим на E_до:
E_послеE_до = m₁m₁ + m₂.
По условию это отношение равно 0,5. Следовательно:
m₁m₁ + m₂ = 12;
2m₁ = m₁ + m₂;
m₂ = m₁.
Подстановка даёт m₂ = 5 кг. Неизвестная скорость сократилась, поэтому её численное значение не требуется.

Проверка. При равных массах общая скорость u = 0,5v. Масса движущейся системы удваивается, а квадрат скорости уменьшается в четыре раза, поэтому энергия становится вдвое меньше: 2 · 0,5² = 0,5. Потеря энергии действительно составляет 50%. Ответ: 5 кг.