Задание FCC5F4: Целые и дробно-рациональные уравнения. Системы и совокупности уравнений

1. Исходное уравнение x(x²+2x+1)=2(x+1) определено при всех действительных x. Найдём все корни, сохранив значения, при которых общий множитель обращается в ноль.

2. Квадратный трёхчлен в левой части — полный квадрат:
x² + 2x + 1 = (x + 1)².
Перенесём правую часть влево и вынесем общий множитель:
(x + 1) · (x · (x + 1) − 2) = 0.
На x + 1 не делим: иначе можно потерять корень x = −1.

3. Первый множитель даёт x = −1. Второй даёт уравнение x · (x + 1) − 2 = 0. Раскроем скобки и решим его:
x² + x − 2 = 0.
D = (1)² − 4 · (1) · (−2) = 9.
√9 = 3. По формуле корней x = −(1) ± 32 · (1).
Получаем x = −2, x = 1.

4. Объединим полученные значения: −2, −1, 1. Проверка каждого корня в исходном уравнении:
x = −2: слева (−2)((−2)²+2(−2)+1) = −2; справа 2((−2)+1) = −2.
x = −1: слева (−1)((−1)²+2(−1)+1) = 0; справа 2((−1)+1) = 0.
x = 1: слева (1)((1)²+2(1)+1) = 4; справа 2((1)+1) = 4.
Все значения допустимы. Общий множитель и оставшийся квадратный множитель полностью исследованы, поэтому других корней нет.

Ответ: −2; −1; 1.