Задание FA8C9C: Целые и дробно-рациональные неравенства. Системы и совокупности неравенств

1. По исходному рисунку множество решений: (−∞; −5) ∪ (5; +∞). Пустые точки не входят в него, закрашенные входят. Сравним это множество с решениями предложенных неравенств.

2. Вариант 1: x² − 25 > 0.
Перенесём правую часть влево: x² − 25 − (0) > 0.
Разложим полученный многочлен на множители.
x² − 25 = (x − 5) · (x + 5).
Итак, исследуем знак выражения f(x) = (x − 5) · (x + 5); требуется f(x) > 0.
Критические точки в порядке возрастания: −5, 5.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; −5): при x = −6 получаем f(x) = 11, знак положителен.
(−5; 5): при x = −4 получаем f(x) = −9, знак отрицателен.
(5; +∞): при x = 6 получаем f(x) = 11, знак положителен.
x = −5 даёт ноль; исключаем эту точку, так как неравенство строгое.
x = 5 даёт ноль; исключаем эту точку, так как неравенство строгое.
Множество решений: (−∞; −5) ∪ (5; +∞).

3. Вариант 2: x² − 25 < 0.
Перенесём правую часть влево: x² − 25 − (0) < 0.
Разложим полученный многочлен на множители.
x² − 25 = (x − 5) · (x + 5).
Итак, исследуем знак выражения f(x) = (x − 5) · (x + 5); требуется f(x) < 0.
Критические точки в порядке возрастания: −5, 5.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; −5): при x = −6 получаем f(x) = 11, знак положителен.
(−5; 5): при x = −4 получаем f(x) = −9, знак отрицателен.
(5; +∞): при x = 6 получаем f(x) = 11, знак положителен.
x = −5 даёт ноль; исключаем эту точку, так как неравенство строгое.
x = 5 даёт ноль; исключаем эту точку, так как неравенство строгое.
Множество решений: (−5; 5).

4. Вариант 3: x² + 25 < 0.
Перенесём правую часть влево: x² + 25 − (0) < 0.
Разложим полученный многочлен на множители.
Итак, исследуем знак выражения f(x) = x² + 25; требуется f(x) < 0.
Действительных нулей и точек разрыва нет.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; +∞): при x = 0 получаем f(x) = 25, знак положителен.
Множество решений: ∅.

5. Вариант 4: x² + 25 > 0.
Перенесём правую часть влево: x² + 25 − (0) > 0.
Разложим полученный многочлен на множители.
Итак, исследуем знак выражения f(x) = x² + 25; требуется f(x) > 0.
Действительных нулей и точек разрыва нет.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; +∞): при x = 0 получаем f(x) = 25, знак положителен.
Множество решений: (−∞; +∞).

6. Только вариант 1 даёт в точности отмеченное на рисунке множество (−∞; −5) ∪ (5; +∞).

В условии требуется номер варианта. Найденному множеству (−∞; −5) ∪ (5; +∞) соответствует вариант 1.

Проверка полноты: решения всех четырёх неравенств сопоставлены с границами и отмеченными промежутками рисунка.

Ответ: 1.