Задание F92250: Функция и её график. Область определения и множество значений, нули, знакопостоянство, монотонность и экстремумы

1. Исходная функция: y=12(|x3,5−3,5x|+x3,5+3,5x).

Область определения: x ≠ 0. После сокращения дроби эти ограничения сохраняются.

Обозначим u = x72, v = 72x. Равенство |u − v| + u + v2 = max(u; v) следует из двух случаев: при u ≥ v модуль равен u − v, при u < v — v − u.

2. Разность u − v = x² − 49472x меняет знак в точках −72, 0, 72. Поэтому строим следующие части:

y = 72x при x < −72.

y = 27x при −72 ≤ x < 0.

y = 72x при 0 < x < 72.

y = 27x при x ≥ 72.

На отрицательной полуоси значение −1 достигается только при x = −72. Каждое m из (−1; 0) достигается дважды: на прямой и на гиперболе. Значений m < −1 и m = 0 нет.

На положительной полуоси значение 1 достигается только при x = 72, каждое m > 1 — дважды. Значений из (0; 1) нет. Следовательно, ровно одно пересечение получается при m = −1 или m = 1.

Проверка: при x = ±72 обе сравниваемые величины равны ±1; модуль их разности равен нулю. Точки допустимы и являются общими концами соседних частей, каждая считается один раз.

Ответ: m ∈ {−1; 1}.