Задание F89C42: Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени

1. Даны a = 2. Эти значения ненулевые, поэтому деление и отрицательные степени допустимы. Сначала упростим выражение по свойствам степеней, затем выполним числовые вычисления.

2. Используем правила: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐaⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Степень произведения распределяется по множителям; отрицательная степень означает обратное число. Для числовых составных оснований используем разложение на простые множители.

3. Промежуточные преобразования:
(a²⁰)⁻¹ = a⁻²⁰.
Соберём показатели каждого основания. Показатели множителей знаменателя входят со знаком минус:
Для основания a: 8 + 17 − 20 = 5.
После сокращения получаем a⁵.
При подстановке: 2⁵ = 32.

4. Проверка прямым вычислением исходного выражения без сокращения буквенных степеней: Числитель после подстановки равен 33554432, знаменатель — 1048576. Их отношение: 335544321048576 = 32.
Получено то же значение 32. Условие ненулевых знаменателей выполнено, а все преобразования сохраняют значение выражения.

Ответ: 32.