Задание F05EB9: Целые и дробно-рациональные неравенства. Системы и совокупности неравенств

1. Исходное неравенство: (7 − x) · (x² − 49) ≥ 0.
В обеих частях многочлены, поэтому допустимы все действительные x.

2. Перенесём правую часть влево: (7 − x) · (x² − 49) − (0) ≥ 0.
Разложим полученный многочлен на множители.
x² − 49 = (x − 7) · (x + 7).
Итак, исследуем знак выражения f(x) = −(x − 7)² · (x + 7); требуется f(x) ≥ 0.

3. Применим метод интервалов.
Критические точки в порядке возрастания: −7, 7.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; −7): при x = −8 получаем f(x) = 225, знак положителен.
(−7; 7): при x = −6 получаем f(x) = −169, знак отрицателен.
(7; +∞): при x = 8 получаем f(x) = −15, знак отрицателен.
x = −7 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.
x = 7 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.

4. Выбираем все промежутки, где выполняется исходный знак ≥, и учитываем граничные точки. Получаем:
x ∈ (−∞; −7] ∪ {7}.
Проверены все промежутки между критическими точками и сами точки, поэтому множество решений полное.

Проверка полноты: знаки внутри промежутков, включение нулей и исходные ограничения учтены.

Ответ: (−∞; −7] ∪ {7}.