Задание EGEINFFBDD40: Подсчёт слов и последовательностей

Длина слова n = 6. Алфавит в порядке возрастания: Е, И, О, Р, Т, Я. Всего букв b = 6; повторения букв разрешены.

Сопоставим буквам цифры от 0 до b − 1: Е → 0, И → 1, О → 2, Р → 3, Т → 4, Я → 5. Алфавитное сравнение слов одинаковой длины совпадает со сравнением позиционных записей: решает первая различающаяся буква слева. Начальные нули сохраняем, поскольку длина слова фиксирована.

Номер в списке на единицу больше значения записи. Для цифр d₁, …, dₙ формула имеет вид N = 1 + d₁ · bⁿ⁻¹ + d₂ · bⁿ⁻² + … + dₙ. Единица нужна потому, что первое слово состоит из минимальных букв, его код равен нулю, а номер равен 1.

Условия отбора: первая буква не входит в Е, И, О; число букв Я от 1 до 1 включительно; номер чётный.

Основание b чётное: все позиционные слагаемые, кроме последнего, чётные. Поэтому чётность N определяется числом 1 + dₙ.

Докажем выбор слова последовательно слева направо. D(q) — число допустимых полных слов с началом q. Для полного слова D равно 1, если выполнены все ограничения, иначе 0. Для более короткого начала D(q) = сумма D(qc) по всем буквам c. Так перебираются все продолжения без пропусков и повторов; запрещённая буква, лишнее вхождение или запрещённая соседняя пара сразу дают ноль.

На каждом шаге выбираем наименьшую букву с положительным числом продолжений. Ниже числа D(qc) перечислены в порядке алфавита ЕИОРТЯ. Нули у всех более подходящих букв доказывают невозможность улучшить выбор.

Начало «пусто»: Е: 0, И: 0, О: 0, Р: 1625, Т: 1625, Я: 1250; выбираем Р.
Начало «Р»: Е: 275, И: 275, О: 275, Р: 275, Т: 275, Я: 250; выбираем Е.
Начало «РЕ»: Е: 45, И: 45, О: 45, Р: 45, Т: 45, Я: 50; выбираем Е.
Начало «РЕЕ»: Е: 7, И: 7, О: 7, Р: 7, Т: 7, Я: 10; выбираем Е.
Начало «РЕЕЕ»: Е: 1, И: 1, О: 1, Р: 1, Т: 1, Я: 2; выбираем Е.
Начало «РЕЕЕЕ»: Е: 0, И: 0, О: 0, Р: 0, Т: 0, Я: 1; выбираем Я.

Полученное слово: РЕЕЕЕЯ.

Код слова: 300005.
Место 1: Р → 3; вклад = 3 · 6⁵ = 23328.
Место 2: Е → 0; вклад = 0 · 6⁴ = 0.
Место 3: Е → 0; вклад = 0 · 6³ = 0.
Место 4: Е → 0; вклад = 0 · 6² = 0.
Место 5: Е → 0; вклад = 0 · 6¹ = 0.
Место 6: Я → 5; вклад = 5 · 6⁰ = 5.

N = 1 + 23328 + 0 + 0 + 0 + 0 + 5 = 23334.

Проверка: из N − 1 = 23333 последовательным делением с остатком на 6 восстанавливается код 300005 длины 6, то есть слово РЕЕЕЕЯ. Оно удовлетворяет всем ограничениям. Таблица продолжений исключила все слова, которые могли бы дать лучший номер.

Ответ: 23334.