F7EDCC — Оптимальный маршрут по клетчатому полю: ответ и решение

Впишите правильный ответ.

Рисунок из условия ФИПИ

Задание выполняется с использованием прилагаемых
файлов.

Квадрат разлинован на N × N клеток (1 < N < 30). Исполнитель Робот может перемещаться по клеткам, выполняя за одно перемещение одну из двух команд: вправо или вниз. По команде вправо Робот перемещается в соседнюю правую клетку, по команде вниз –
в соседнюю нижнюю. Квадрат ограничен внешними стенами. Между соседними клетками квадрата также могут быть внутренние стены. Сквозь стену Робот пройти не может.

Перед каждым запуском Робота в каждой клетке квадрата лежит монета достоинством от 1 до 100. Посетив клетку, Робот забирает монету с собой; это также относится к начальной и конечной клеткам маршрута Робота.

Определите максимальную и минимальную денежные суммы, которые может собрать Робот, пройдя из левой верхней клетки
в правую нижнюю. В ответе укажите два числа – сначала максимальную сумму, затем минимальную.

Исходные данные представляют собой электронную таблицу размером N × N, каждая ячейка которой соответствует клетке квадрата. Внутренние и внешние стены обозначены утолщёнными линиями.

Пример входных данных

1	8	8	4
10	1	1	3
1	3	12	2
2	3	5	6

Скачать файл задания (ODS, ФИПИ)

Решение задания EGEINFF7EDCC

Ответ: 2226 902

Решение.
Откроем приложенную электронную таблицу. Исходные числа занимают диапазон A1:T20: поле имеет размер 20 × 20. Начинаем в A1 и движемся только вправо или вниз. Число в каждой посещённой клетке, включая начало и финиш, прибавляется к сумме.
Нужно обязательно дойти до T20. Маршрут, закончившийся у стен раньше, в ответ не входит.
В исходном поле найдено 55 внутренних границ между соседними клетками, через которые проход запрещён.
Будем хранить для каждой достижимой клетки две величины: L — наименьшую сумму от A1 до неё, H — наибольшую. Для A1 обе величины равны числу в самой A1: 42.
В любую другую клетку можно прийти только из соседней слева или сверху. Переход слева разрешён, если нет стены между этими клетками; переход сверху — если нет стены над текущей клеткой. Недостижимого соседа не используем.
Если оба входа разрешены, прибавим число текущей клетки к меньшей из двух величин L и к большей из двух величин H. Если допустимый вход один, берём только его. Если нет ни одного, помечаем клетку «нет пути», а не нулём.
Это динамическое программирование: любой путь в текущую клетку заканчивается одним из допустимых входов. Поэтому выбор лучшего пути до предшественника перебирает все возможности последнего шага. Обрабатывая строки сверху вниз, а клетки в строке слева направо, получаем точные минимум и максимум для всего поля.
Для расчёта в редакторе таблиц создадим под исходными числами блок максимумов с началом в A22. В A22 введём =A1. Например, значение для B2 окажется в B23: при двух допустимых входах формула имеет вид =B2+МАКС(A23;B22). Если вход перекрыт стеной или ведёт из недостижимой клетки, соответствующую ссылку исключаем. Начальную клетку общей формулой не заменяем.
Первую строку заполняем только по входу слева, первый столбец — только по входу сверху. После каждой стены отдельно проверяем достижимость. Для минимумов создадим такой же блок, заменив МАКС на МИН и сохранив все ограничения переходов. Нельзя протянуть общую формулу через стены без исправления ссылок.
Контрольные значения начала таблицы:

Клетка	Число	L	H
A1	42	42	42
B1	74	116	116
A2	9	51	51
B2	72	123	188

Итог в единственной разрешённой конечной клетке T20:

Финиш	Минимум	Максимум
T20	902	2226

В T20 получаем L = 902, H = 2226. Значения в других тупиках не учитываем.
Проверка. Восстановим оба оптимальных маршрута, каждый раз выбирая предшественника, давшего записанную сумму. Ниже указаны посещённые столбцы по строкам; диапазон включает оба края. Между строками спускаемся в том столбце, в котором закончился предыдущий отрезок. Знак «—» означает, что маршрут завершился раньше.

Строка	Минимальный: столбцы	Сумма	Максимальный: столбцы	Сумма
1	A	42	A–B	116
2	A	9	B–M	558
3	A	11	M–P	283
4	A	29	P	85
5	A	28	P	63
6	A–G	216	P	82
7	G–J	49	P	88
8	J–M	31	P	53
9	M	19	P–Q	159
10	M	20	Q	77
11	M	6	Q	74
12	M	5	Q	48
13	M	13	Q	27
14	M	49	Q	46
15	M	58	Q–R	89
16	M–O	40	R	52
17	O	14	R	62
18	O–P	68	R–S	113
19	P	50	S–T	140
20	P–T	145	T	11
Итого		902		2226

Все переходы этих маршрутов разрешены. Суммы чисел исходного файла дают 902 и 2226; начальная и конечная клетки учтены ровно один раз. Таблица динамического программирования доказывает, что меньшая и большая суммы невозможны.
По условию сначала записываем максимум, затем минимум.
Ответ: 2226 902.

Задание EGEINFF7EDCC: Оптимальный маршрут по клетчатому полю

Решение задания EGEINFF7EDCC

Помочь улучшить сайт

Комментарии к решению