2285C9 — Оптимальный маршрут по клетчатому полю: ответ и решение

Впишите правильный ответ.

Рисунок из условия ФИПИ

Задание выполняется с использованием прилагаемых
файлов.

Квадрат разлинован на N × N клеток (1 < N < 30). Исполнитель Робот может перемещаться по клеткам, выполняя за одно перемещение одну из двух команд: вправо или вниз. По команде вправо Робот перемещается в соседнюю правую клетку, по команде вниз –
в соседнюю нижнюю. Квадрат ограничен внешними стенами. Между соседними клетками квадрата также могут быть внутренние стены. Сквозь стену Робот пройти не может.

Перед каждым запуском Робота в каждой клетке квадрата лежит монета достоинством от 1 до 100. Посетив клетку, Робот забирает монету с собой; это также относится к начальной и конечной клеткам маршрута Робота.

Определите максимальную и минимальную денежные суммы, которые может собрать Робот, пройдя из левой верхней клетки
в правую нижнюю. В ответе укажите два числа – сначала максимальную сумму, затем минимальную.

Исходные данные представляют собой электронную таблицу размером N × N, каждая ячейка которой соответствует клетке квадрата. Внутренние и внешние стены обозначены утолщёнными линиями.

Пример входных данных

1	8	8	4
10	1	1	3
1	3	12	2
2	3	5	6

Скачать файл задания (ODS, ФИПИ)

Решение задания EGEINF2285C9

Ответ: 2285 993

Решение.
Откроем приложенную электронную таблицу. Исходные числа занимают диапазон A1:T20: поле имеет размер 20 × 20. Начинаем в A1 и движемся только вправо или вниз. Число в каждой посещённой клетке, включая начало и финиш, прибавляется к сумме.
Нужно обязательно дойти до T20. Маршрут, закончившийся у стен раньше, в ответ не входит.
В исходном поле найдено 56 внутренних границ между соседними клетками, через которые проход запрещён.
Будем хранить для каждой достижимой клетки две величины: L — наименьшую сумму от A1 до неё, H — наибольшую. Для A1 обе величины равны числу в самой A1: 62.
В любую другую клетку можно прийти только из соседней слева или сверху. Переход слева разрешён, если нет стены между этими клетками; переход сверху — если нет стены над текущей клеткой. Недостижимого соседа не используем.
Если оба входа разрешены, прибавим число текущей клетки к меньшей из двух величин L и к большей из двух величин H. Если допустимый вход один, берём только его. Если нет ни одного, помечаем клетку «нет пути», а не нулём.
Это динамическое программирование: любой путь в текущую клетку заканчивается одним из допустимых входов. Поэтому выбор лучшего пути до предшественника перебирает все возможности последнего шага. Обрабатывая строки сверху вниз, а клетки в строке слева направо, получаем точные минимум и максимум для всего поля.
Для расчёта в редакторе таблиц создадим под исходными числами блок максимумов с началом в A22. В A22 введём =A1. Например, значение для B2 окажется в B23: при двух допустимых входах формула имеет вид =B2+МАКС(A23;B22). Если вход перекрыт стеной или ведёт из недостижимой клетки, соответствующую ссылку исключаем. Начальную клетку общей формулой не заменяем.
Первую строку заполняем только по входу слева, первый столбец — только по входу сверху. После каждой стены отдельно проверяем достижимость. Для минимумов создадим такой же блок, заменив МАКС на МИН и сохранив все ограничения переходов. Нельзя протянуть общую формулу через стены без исправления ссылок.
Контрольные значения начала таблицы:

Клетка	Число	L	H
A1	62	62	62
B1	41	103	103
A2	23	85	85
B2	29	114	132

Итог в единственной разрешённой конечной клетке T20:

Финиш	Минимум	Максимум
T20	993	2285

В T20 получаем L = 993, H = 2285. Значения в других тупиках не учитываем.
Проверка. Восстановим оба оптимальных маршрута, каждый раз выбирая предшественника, давшего записанную сумму. Ниже указаны посещённые столбцы по строкам; диапазон включает оба края. Между строками спускаемся в том столбце, в котором закончился предыдущий отрезок. Знак «—» означает, что маршрут завершился раньше.

Строка	Минимальный: столбцы	Сумма	Максимальный: столбцы	Сумма
1	A	62	A–E	218
2	A	23	E–G	184
3	A	61	G	76
4	A	18	G–N	532
5	A–G	241	N–O	146
6	G	15	O	52
7	G–H	17	O	69
8	H	5	O	85
9	H	5	O–P	134
10	H	15	P	63
11	H	11	P	30
12	H–I	12	P	78
13	I	10	P	57
14	I	30	P	50
15	I–K	112	P–Q	130
16	K–N	121	Q–R	88
17	N–O	39	R	72
18	O–Q	114	R–T	176
19	Q–S	48	T	29
20	S–T	34	T	16
Итого		993		2285

Все переходы этих маршрутов разрешены. Суммы чисел исходного файла дают 993 и 2285; начальная и конечная клетки учтены ровно один раз. Таблица динамического программирования доказывает, что меньшая и большая суммы невозможны.
По условию сначала записываем максимум, затем минимум.
Ответ: 2285 993.

Задание EGEINF2285C9: Оптимальный маршрут по клетчатому полю

Решение задания EGEINF2285C9

Помочь улучшить сайт

Комментарии к решению