Задание EGEINFF324E5: Подсчёт слов и последовательностей

Длина слова n = 5. Алфавит в порядке возрастания: А, Б, Р, Т, Ы. Всего букв b = 5; повторения букв разрешены.

Сопоставим буквам цифры от 0 до b − 1: А → 0, Б → 1, Р → 2, Т → 3, Ы → 4. Алфавитное сравнение слов одинаковой длины совпадает со сравнением позиционных записей: решает первая различающаяся буква слева. Начальные нули сохраняем, поскольку длина слова фиксирована.

Номер в списке на единицу больше значения записи. Для цифр d₁, …, dₙ формула имеет вид N = 1 + d₁ · bⁿ⁻¹ + d₂ · bⁿ⁻² + … + dₙ. Единица нужна потому, что первое слово состоит из минимальных букв, его код равен нулю, а номер равен 1.

Условия отбора: полностью исключены буквы Ы; запрещены соседние пары АА.

Докажем выбор слова последовательно слева направо. D(q) — число допустимых полных слов с началом q. Для полного слова D равно 1, если выполнены все ограничения, иначе 0. Для более короткого начала D(q) = сумма D(qc) по всем буквам c. Так перебираются все продолжения без пропусков и повторов; запрещённая буква, лишнее вхождение или запрещённая соседняя пара сразу дают ноль.

На каждом шаге выбираем наименьшую букву с положительным числом продолжений. Ниже числа D(qc) перечислены в порядке алфавита АБРТЫ. Нули у всех более подходящих букв доказывают невозможность улучшить выбор.

Начало «пусто»: А: 171, Б: 216, Р: 216, Т: 216, Ы: 0; выбираем А.
Начало «А»: А: 0, Б: 57, Р: 57, Т: 57, Ы: 0; выбираем Б.
Начало «АБ»: А: 12, Б: 15, Р: 15, Т: 15, Ы: 0; выбираем А.
Начало «АБА»: А: 0, Б: 4, Р: 4, Т: 4, Ы: 0; выбираем Б.
Начало «АБАБ»: А: 1, Б: 1, Р: 1, Т: 1, Ы: 0; выбираем А.

Полученное слово: АБАБА.

Код слова: 01010.
Место 1: А → 0; вклад = 0 · 5⁴ = 0.
Место 2: Б → 1; вклад = 1 · 5³ = 125.
Место 3: А → 0; вклад = 0 · 5² = 0.
Место 4: Б → 1; вклад = 1 · 5¹ = 5.
Место 5: А → 0; вклад = 0 · 5⁰ = 0.

N = 1 + 0 + 125 + 0 + 5 + 0 = 131.

Проверка: из N − 1 = 130 последовательным делением с остатком на 5 восстанавливается код 01010 длины 5, то есть слово АБАБА. Оно удовлетворяет всем ограничениям. Таблица продолжений исключила все слова, которые могли бы дать лучший номер.

Ответ: 131.