Задание EGEINFDB7883: Рекурсия и рекуррентные зависимости

Дано: аргумент n — натуральное число. Правила вычисления:
F(n) = 1 при n = 1.
F(n) = 2 · n · F(n − 1) при n ≥ 2.
Найти R = F(4028) − 2 · F(4027)F(4026).

Здесь соседние значения функции отличаются известным множителем. Полностью вычислять огромные значения не требуется: выразим все числители через значение функции в знаменателе. Из рекуррентного правила следует F(n) = a(n) · F(n − h), где a(n) — множитель из условия, h — шаг аргумента. Повторяя подстановку, получаем произведение этих множителей и одно общее значение F. Все используемые аргументы находятся в рекуррентной ветви.

Положим C = F(4026). В этой задаче C положительно: последовательное уменьшение аргумента с шагом 1 приводит к положительному начальному значению, а все множители до него положительны. Поэтому деление на C и его сокращение допустимы.

F(4027) = 8054 · F(4026) = 8054 · 1 · C = 8054 · C.
F(4028) = 8056 · F(4027) = 8056 · 8054 · C = 64883024 · C.

Подставляем полученные выражения в исходную дробь и сокращаем общий множитель C. Коэффициенты при C подставляются вместо соответствующих F:
R = 64883024 − 2 · 80541 = 64866916.

Проверка. У каждого раскрытого значения аргумент уменьшается ровно на шаг из условия. Отношения F(n) к предыдущему значению равны заданным множителям. Независимый расчёт отношений с точной рациональной арифметикой даёт 64866916; округление при делении не использовалось.

Ответ: 64866916.