Задание EGEINFCCFE3B: Логические выражения и уравнения

Исходное выражение: (x ∈ P) → (((x ∈ Q) ∧ ¬(x ∈ A)) → ¬(x ∈ P)).
Импликация P → Q ложна только при P = 1 и Q = 0. Дизъюнкция истинна, если истинна хотя бы одна её часть.
Даны отрезки P = [117; 158] и Q = [129; 180]. Переменная x принимает любые значения на числовой прямой, поэтому учитываем также нецелые точки.
Найдём точки, которые необходимо включить в A. Для этого проверим, при каких значениях x вне A выражение становится ложным.
После раскрытия обеих импликаций ложь возможна ровно при x ∈ P, x ∈ Q, x ∉ A.
Значит, A должен содержать пересечение P и Q: [129; 158].
В частности, обе точки 129 и 158 обязательны. Никакой отрезок меньшей длины их одновременно не содержит.
Возьмём A = [129; 158]. Он содержит всё обязательное множество, поэтому выражение истинно при любом x.
Длина A равна 158 − 129 = 29.
Проверка границ: включение дополнительных граничных точек в A допустимо, так как оно только устраняет возможные случаи ложности. Более короткий отрезок потеряет обязательную точку или целый участок около обязательной границы.
Ответ: 29.