Задание EGEINFA79FED: Графы, таблицы и маршруты

Решение.
Рисунок и таблица описывают одни и те же дороги. Буквенные обозначения нельзя сопоставлять номерам по положению на рисунке: нужно сохранить связи между пунктами. Пустая клетка означает отсутствие прямой дороги.
Степень вершины — число выходящих из неё дорог. На рисунке: A — 3, B — 2, C — 3, D — 2, E — 2, F — 3, G — 3.
В таблице степени равны: 1 — 2, 2 — 3, 3 — 2, 4 — 3, 5 — 3, 6 — 2, 7 — 3.
Сопоставлять можно только вершины одинаковой степени. Затем сравниваем, с какими группами вершин связаны их соседи; если наборы различаются, соответствие исключаем. Повторяем уточнение, пока группы перестанут делиться.
Уточнение 1: A ∈ {2, 7}; B ∈ {1, 3, 6}; C ∈ {4, 5}; D ∈ {1, 3, 6}; E ∈ {1, 3, 6}; F ∈ {4, 5}; G ∈ {2, 7}.
Уточнение 2: A ∈ {2, 7}; B ∈ {6}; C ∈ {4, 5}; D ∈ {1, 3}; E ∈ {1, 3}; F ∈ {4, 5}; G ∈ {2, 7}.
Уточнение 3: A ∈ {2, 7}; B ∈ {6}; C ∈ {4, 5}; D ∈ {1, 3}; E ∈ {1, 3}; F ∈ {4, 5}; G ∈ {2, 7}.
Внутри оставшихся групп перебираем взаимно однозначные соответствия. Всего вариантов: 8. Для каждого проверяем все пары пунктов: и наличие дороги, и её отсутствие должны совпадать.
Подходит: A=2, B=6, C=4, D=1, E=3, F=5, G=7.
A=2, B=6, C=5, D=1, E=3, F=4, G=7: исключаем — на рисунке нет дороги A–C, а в клетке 2–5 отмечена дорога.
A=7, B=6, C=4, D=1, E=3, F=5, G=2: исключаем — на рисунке нет дороги A–C, а в клетке 7–4 отмечена дорога.
A=7, B=6, C=5, D=1, E=3, F=4, G=2: исключаем — на рисунке нет дороги A–D, а в клетке 7–1 отмечена дорога.
A=2, B=6, C=4, D=3, E=1, F=5, G=7: исключаем — на рисунке нет дороги A–D, а в клетке 2–3 отмечена дорога.
A=2, B=6, C=5, D=3, E=1, F=4, G=7: исключаем — на рисунке нет дороги A–C, а в клетке 2–5 отмечена дорога.
A=7, B=6, C=4, D=3, E=1, F=5, G=2: исключаем — на рисунке нет дороги A–C, а в клетке 7–4 отмечена дорога.
Подходит: A=7, B=6, C=5, D=3, E=1, F=4, G=2.
Для соответствия 1: A — номер 2, G — номер 7.
Для соответствия 2: A — номер 7, G — номер 2.
По условию номера записываем в порядке возрастания, независимо от порядка букв. После упорядочения в каждом допустимом случае получается 27.
Проверка первого допустимого соответствия по всем дорогам рисунка: EA → 3–2; AB → 2–6; BG → 6–7; GD → 7–1; DC → 1–4; CF → 4–5; FE → 5–3; AF → 2–5; CG → 4–7.
Все перечисленные клетки непусты, а число дорог в таблице равно числу рёбер рисунка. Значит, лишних связей не появилось. Остальные варианты либо прошли ту же проверку, либо исключены указанным противоречием.
Ответ: 27.