Задание EGEINF63556F: Графы, таблицы и маршруты

Решение.
Рисунок и таблица описывают одни и те же дороги. Буквенные обозначения нельзя сопоставлять номерам по положению на рисунке: нужно сохранить связи между пунктами. Пустая клетка означает отсутствие прямой дороги.
Степень вершины — число выходящих из неё дорог. На рисунке: A — 3, B — 2, C — 3, D — 2, E — 3, F — 2, G — 3.
В таблице степени равны: 1 — 3, 2 — 2, 3 — 3, 4 — 2, 5 — 3, 6 — 2, 7 — 3.
Сопоставлять можно только вершины одинаковой степени. Затем сравниваем, с какими группами вершин связаны их соседи; если наборы различаются, соответствие исключаем. Повторяем уточнение, пока группы перестанут делиться.
Уточнение 1: A ∈ {1, 5}; B ∈ {2, 4, 6}; C ∈ {1, 5}; D ∈ {2, 4, 6}; E ∈ {3, 7}; F ∈ {2, 4, 6}; G ∈ {3, 7}.
Уточнение 2: A ∈ {1, 5}; B ∈ {2, 4}; C ∈ {1, 5}; D ∈ {6}; E ∈ {3, 7}; F ∈ {2, 4}; G ∈ {3, 7}.
Уточнение 3: A ∈ {1, 5}; B ∈ {2, 4}; C ∈ {1, 5}; D ∈ {6}; E ∈ {3, 7}; F ∈ {2, 4}; G ∈ {3, 7}.
Внутри оставшихся групп перебираем взаимно однозначные соответствия. Всего вариантов: 8. Для каждого проверяем все пары пунктов: и наличие дороги, и её отсутствие должны совпадать.
A=1, B=2, C=5, D=6, E=3, F=4, G=7: исключаем — на рисунке есть дорога A–B, а в клетке 1–2 пусто.
A=1, B=2, C=5, D=6, E=7, F=4, G=3: исключаем — на рисунке есть дорога A–B, а в клетке 1–2 пусто.
A=5, B=2, C=1, D=6, E=3, F=4, G=7: исключаем — на рисунке нет дороги A–E, а в клетке 5–3 отмечена дорога.
Подходит: A=5, B=2, C=1, D=6, E=7, F=4, G=3.
Подходит: A=1, B=4, C=5, D=6, E=3, F=2, G=7.
A=1, B=4, C=5, D=6, E=7, F=2, G=3: исключаем — на рисунке нет дороги A–E, а в клетке 1–7 отмечена дорога.
A=5, B=4, C=1, D=6, E=3, F=2, G=7: исключаем — на рисунке есть дорога A–B, а в клетке 5–4 пусто.
A=5, B=4, C=1, D=6, E=7, F=2, G=3: исключаем — на рисунке есть дорога A–B, а в клетке 5–4 пусто.
Для соответствия 1: B — номер 2, F — номер 4.
Для соответствия 2: B — номер 4, F — номер 2.
По условию номера записываем в порядке возрастания, независимо от порядка букв. После упорядочения в каждом допустимом случае получается 24.
Проверка первого допустимого соответствия по всем дорогам рисунка: AB → 5–2; BG → 2–3; GE → 3–7; EF → 7–4; FC → 4–1; CD → 1–6; DA → 6–5; AG → 5–3; CE → 1–7.
Все перечисленные клетки непусты, а число дорог в таблице равно числу рёбер рисунка. Значит, лишних связей не появилось. Остальные варианты либо прошли ту же проверку, либо исключены указанным противоречием.
Ответ: 24.