Задание EGEINF3F4398: Системы счисления и арифметика

Решение.
1. Заменим вычитание дополнением цифр.
N = 7³⁵⁰ + 7¹⁵⁰ – x.
Допустимые значения: 1 ≤ x ≤ 2300.
Положим y = x − 1. Тогда 0 ≤ y ≤ 2299.
7¹⁵⁰ − x = (7¹⁵⁰ − 1) − y.
Число 7¹⁵⁰ − 1 состоит из 150 цифр 6. Поэтому вычитание y заменяет каждую цифру d на 6 − d. Если запись y короче, дополняем её слева нулями: они превращаются в 6, а не в нули.
Таким образом, в младшем блоке нули возникают ровно на местах цифры 6 в записи y.
Старшая часть после заимствования единицы из младшей степени:
Разряды 350…350: цифра 1; количество 350 − 350 + 1 = 1.
Разряды 349…150: цифра 0; количество 349 − 150 + 1 = 200.
Нулей в неизменной старшей части: 200.
Общее число нулей: z(x) = 200 + количество цифр 6 в записи x − 1.
2. Проверим весь разрешённый диапазон.
Для каждого y от 0 до верхней границы последовательно делим y на основание с остатком. Каждый остаток — очередная цифра; прибавляем единицу к счётчику только при остатке, равном основанию минус один. К этому счётчику добавляем нули старшей части. Для каждого результата сохраняем число подходящих x и наибольшее из них. Получаем:
Нулей 200: значений x — 1296; наибольшее x = 2001.
Нулей 201: значений x — 828; наибольшее x = 2295.
Нулей 202: значений x — 166; наибольшее x = 2300.
Нулей 203: значений x — 10; наибольшее x = 2254.
Проверка полноты: 1296 + 828 + 166 + 10 = 2300; проверены все допустимые x.
Требуемое число нулей: 200.
Среди 1296 подходящих значений наибольшее x = 2001.
3. Проверка выбранного значения.
y = 2001 − 1 = 2000.
Цифры y в основании 7, от старшей к младшей: 5, 5, 5, 5.
Цифра 6 встречается 0 раз; нулей в N получается 200 + 0 = 200.
Наибольшие значения для каждого результата в полной таблице подтверждают, что большего подходящего x в разрешённом диапазоне нет.

Ответ: 2001.