Задание EGEINF194B16: Подсчёт слов и последовательностей

Длина слова n = 5. Алфавит в порядке возрастания: А, Е, К, Н, Т, Ц. Всего букв b = 6; повторения букв разрешены.

Сопоставим буквам цифры от 0 до b − 1: А → 0, Е → 1, К → 2, Н → 3, Т → 4, Ц → 5. Алфавитное сравнение слов одинаковой длины совпадает со сравнением позиционных записей: решает первая различающаяся буква слева. Начальные нули сохраняем, поскольку длина слова фиксирована.

Номер в списке на единицу больше значения записи. Для цифр d₁, …, dₙ формула имеет вид N = 1 + d₁ · bⁿ⁻¹ + d₂ · bⁿ⁻² + … + dₙ. Единица нужна потому, что первое слово состоит из минимальных букв, его код равен нулю, а номер равен 1.

Условия отбора: первая буква не входит в Н, Т, Ц; число букв А от 1 до 5 включительно; номер чётный.

Основание b чётное: все позиционные слагаемые, кроме последнего, чётные. Поэтому чётность N определяется числом 1 + dₙ.

Докажем выбор слова последовательно слева направо. D(q) — число допустимых полных слов с началом q. Для полного слова D равно 1, если выполнены все ограничения, иначе 0. Для более короткого начала D(q) = сумма D(qc) по всем буквам c. Так перебираются все продолжения без пропусков и повторов; запрещённая буква, лишнее вхождение или запрещённая соседняя пара сразу дают ноль.

На каждом шаге выбираем наибольшую букву с положительным числом продолжений. Ниже числа D(qc) перечислены в порядке алфавита АЕКНТЦ. Нули у всех более подходящих букв доказывают невозможность улучшить выбор.

Начало «пусто»: А: 648, Е: 273, К: 273, Н: 0, Т: 0, Ц: 0; выбираем К.
Начало «К»: А: 108, Е: 33, К: 33, Н: 33, Т: 33, Ц: 33; выбираем Ц.
Начало «КЦ»: А: 18, Е: 3, К: 3, Н: 3, Т: 3, Ц: 3; выбираем Ц.
Начало «КЦЦ»: А: 3, Е: 0, К: 0, Н: 0, Т: 0, Ц: 0; выбираем А.
Начало «КЦЦА»: А: 0, Е: 1, К: 0, Н: 1, Т: 0, Ц: 1; выбираем Ц.

Полученное слово: КЦЦАЦ.

Код слова: 25505.
Место 1: К → 2; вклад = 2 · 6⁴ = 2592.
Место 2: Ц → 5; вклад = 5 · 6³ = 1080.
Место 3: Ц → 5; вклад = 5 · 6² = 180.
Место 4: А → 0; вклад = 0 · 6¹ = 0.
Место 5: Ц → 5; вклад = 5 · 6⁰ = 5.

N = 1 + 2592 + 1080 + 180 + 0 + 5 = 3858.

Проверка: из N − 1 = 3857 последовательным делением с остатком на 6 восстанавливается код 25505 длины 5, то есть слово КЦЦАЦ. Оно удовлетворяет всем ограничениям. Таблица продолжений исключила все слова, которые могли бы дать лучший номер.

Ответ: 3858.