Задание EGEINF19080A: Черепаха, Чертёжник и Робот

Решение.
Ось x направим вправо, ось y — вверх. Черепаха начинает в точке (0; 0), смотрит вверх и рисует. Команда «Назад» меняет направление перемещения, но не поворачивает голову.
Выполним команды по порядку. Поворот меняет только направление головы. Поднятый хвост запрещает рисование, но положение и направление продолжают изменяться.
Вершины фигуры 1 при первом полном обходе: (0; 0) → (−8√2; 8√2) → (−8√2; 16 + 16√22) → (0; 8) → (0; 0).
Дальнейшие повторения идут по тем же сторонам. Поэтому считаем различные внутренние точки единственной замкнутой фигуры. Точки на её границе по условию исключены.
Поворот на 315° вправо направляет голову влево и вверх. Первый отрезок длины 16 имеет приращения координат −8√2 и 8√2. Следующий отрезок направлен вверх и имеет длину 8.
Поэтому внутренность параллелограмма задаётся условиями −8√2 < x < 0 и −x < y < −x + 8.
Так как 11² < 128 < 12², получаем 11 < 8√2 < 12. Допустимы целые x от −11 до −1: всего 11 значений.
При каждом таком x границы для y целые и не включаются. Значения y: −x + 1, …, −x + 7; всего 7.
Искомое число точек: 11 · 7 = 77.
Проверка: сечения по разным x не пересекаются, и любая внутренняя целочисленная точка принадлежит ровно одному из перечисленных сечений. Обе наклонные границы исключены строгими неравенствами.
Ответ: 77.