Задание E66E87: Целые и дробно-рациональные неравенства. Системы и совокупности неравенств

1. Исходное неравенство: (x + 5) · (x − 2) < 0.
В обеих частях многочлены, поэтому допустимы все действительные x.

2. Перенесём правую часть влево: (x + 5) · (x − 2) − (0) < 0.
Разложим полученный многочлен на множители.
Итак, исследуем знак выражения f(x) = (x − 2) · (x + 5); требуется f(x) < 0.

3. Применим метод интервалов.
Критические точки в порядке возрастания: −5, 2.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; −5): при x = −6 получаем f(x) = 8, знак положителен.
(−5; 2): при x = −4 получаем f(x) = −6, знак отрицателен.
(2; +∞): при x = 3 получаем f(x) = 8, знак положителен.
x = −5 даёт ноль; исключаем эту точку, так как неравенство строгое.
x = 2 даёт ноль; исключаем эту точку, так как неравенство строгое.

4. Выбираем все промежутки, где выполняется исходный знак <, и учитываем граничные точки. Получаем:
x ∈ (−5; 2).
Проверены все промежутки между критическими точками и сами точки, поэтому множество решений полное.

В условии требуется номер варианта. Найденному множеству (−5; 2) соответствует вариант 4.

Проверка полноты: знаки внутри промежутков, включение нулей и исходные ограничения учтены.

Ответ: 4.