Задание DF7B5C: Целые и дробно-рациональные неравенства. Системы и совокупности неравенств

1. По исходному рисунку множество решений: [−5; 5]. Пустые точки не входят в него, закрашенные входят. Сравним это множество с решениями предложенных неравенств.

2. Вариант 1: x² + 25 ≤ 0.
Перенесём правую часть влево: x² + 25 − (0) ≤ 0.
Разложим полученный многочлен на множители.
Итак, исследуем знак выражения f(x) = x² + 25; требуется f(x) ≤ 0.
Действительных нулей и точек разрыва нет.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; +∞): при x = 0 получаем f(x) = 25, знак положителен.
Множество решений: ∅.

3. Вариант 2: x² − 25 ≤ 0.
Перенесём правую часть влево: x² − 25 − (0) ≤ 0.
Разложим полученный многочлен на множители.
x² − 25 = (x − 5) · (x + 5).
Итак, исследуем знак выражения f(x) = (x − 5) · (x + 5); требуется f(x) ≤ 0.
Критические точки в порядке возрастания: −5, 5.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; −5): при x = −6 получаем f(x) = 11, знак положителен.
(−5; 5): при x = −4 получаем f(x) = −9, знак отрицателен.
(5; +∞): при x = 6 получаем f(x) = 11, знак положителен.
x = −5 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.
x = 5 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.
Множество решений: [−5; 5].

4. Вариант 3: x² + 25 ≥ 0.
Перенесём правую часть влево: x² + 25 − (0) ≥ 0.
Разложим полученный многочлен на множители.
Итак, исследуем знак выражения f(x) = x² + 25; требуется f(x) ≥ 0.
Действительных нулей и точек разрыва нет.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; +∞): при x = 0 получаем f(x) = 25, знак положителен.
Множество решений: (−∞; +∞).

5. Вариант 4: x² − 25 ≥ 0.
Перенесём правую часть влево: x² − 25 − (0) ≥ 0.
Разложим полученный многочлен на множители.
x² − 25 = (x − 5) · (x + 5).
Итак, исследуем знак выражения f(x) = (x − 5) · (x + 5); требуется f(x) ≥ 0.
Критические точки в порядке возрастания: −5, 5.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; −5): при x = −6 получаем f(x) = 11, знак положителен.
(−5; 5): при x = −4 получаем f(x) = −9, знак отрицателен.
(5; +∞): при x = 6 получаем f(x) = 11, знак положителен.
x = −5 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.
x = 5 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.
Множество решений: (−∞; −5] ∪ [5; +∞).

6. Только вариант 2 даёт в точности отмеченное на рисунке множество [−5; 5].

В условии требуется номер варианта. Найденному множеству [−5; 5] соответствует вариант 2.

Проверка полноты: решения всех четырёх неравенств сопоставлены с границами и отмеченными промежутками рисунка.

Ответ: 2.