Задание D57685: Многоугольники

1. Проведём из точки P перпендикуляры к прямым BC, CD и AD. Их длины и есть расстояния от точки до этих прямых.

2. Точка P лежит на биссектрисе угла C, поэтому расстояния от неё до прямых BC и CD равны. Действительно, два прямоугольных треугольника имеют общую гипотенузу от вершины угла до P и равные острые углы при этой вершине.

3. Аналогично из принадлежности P биссектрисе угла D следует равенство расстояний до CD и AD.

4. Оба равенства содержат расстояние до общей прямой CD. Следовательно, все три расстояния равны: точка P равноудалена от указанных прямых.

Проверка: сравниваются длины перпендикуляров к прямым, поэтому доказательство сохраняется и тогда, когда основание перпендикуляра попадает на продолжение стороны.

Ответ: Доказано.